$n$ 维正规仿射 $SL_n$ 簇的刻画

我们证明，任何正规不可约仿射 $n$ 维 $SL_n$ 簇 $X$ 在其自同构群的意义下在正规不可约仿射簇范畴中被确定：如果 $Y$ 是一个不可约仿射正规代数簇，使得 $Aut(X) \cong Aut(Y)$ 作为 ind-群，则 $Y \cong X$ 作为簇。如果我们去掉 $Y$ 上的正规性条件，则 $X$ 不是唯一确定的，并且我们对所有这样的簇进行了分类。在 $n \ge 3$ 的情况下，如果我们用 $U(X)$ 替换 $Aut(X)$，上述所有结果仍然成立，其中 $U(X)$ 是由所有一维幂单子群生成的 $Aut(X)$ 的子群。在维数 $2$ 时，我们有一些非常有趣的例外。