Danielewski 曲面的自同构群

在本文中，我们研究光滑 Danielewski 曲面 $D_p= \{(x,y,z) \in \mathbb{A}^3 \mid xy = p(z) \} \subset \mathbb{A}^3$ 的自同构群，其中 $p \in \mathbb{C}[z]$ 是无重根的多项式且 $deg (p) \ge 3$。已知两个这样的泛型曲面 $D_p$ 和 $D_q$ 具有同构的自同构群。此外，$\mathrm{Aut}(D_p)$ 由代数子群生成，且存在自然同构 $\phi \colon \mathrm{Aut}(D_p) \xrightarrow{\sim} \mathrm{Aut}(D_q)$，对任意代数子群 $G \subset \mathrm{Aut}(D_p)$，该同构限制为代数群间的同构 $G \xrightarrow{\sim} \phi(G)$。相比之下，我们证明 $\mathrm{Aut}(D_p)$ 和 $\mathrm{Aut}(D_q)$ 作为 ind-群同构当且仅当 $D_p \cong D_q$ 作为簇同构。此外，我们证明 ind-群 $\mathrm{Aut}(D_p)$ 的任何自同构均为内自同构。