关于数字 Kronecker 序列的有界余数集

设 ${\bf x}_0,{\bf x}_1,...$ 为 $[0,1)^s$ 中的点列。若存两个实数 $a$ 和 $C$，使得对每个整数 $N$ 都有 $$| {\rm card}\{n <N \; | \; {\bf x}_{n} \in S \} - a N| <C .$$ 则称 $[0,1)^s$ 的子集 $S$ 为有界余数集。令 $({\bf x}_n)_{n \geq 0}$ 为基数 $b \geq 2$ 的 $s$ 维数字 Kronecker 序列，${\bf \gamma} =(\gamma_1,...,\gamma_s)$，$\gamma_i \in [0, 1)$ 且具有 $b$ 进制展开 $\gamma_i= \gamma_{i,1}b^{-1}+ \gamma_{i,2}b^{-2}+...$，$i=1,...,s$。本文证明了 $[0,\gamma_1) \times ...\times [0,\gamma_s)$ 是关于序列 $({\bf x}_n)_{n \geq 0}$ 的有界余数集，当且仅当 \begin{equation} \nonumber \max_{1 \leq i \leq s} \max \{ j \geq 1 \; | \; \gamma_{i,j} \neq 0 \} < \infty. \end{equation}