$[0,1)^2$ 上连续无理旋转的有界余数集

我们研究单位正方形中二维连续无理旋转 $(\{x_1+t\}, \{x_2+t\alpha \})_{t \geq 0}$ 的有界余数集。特别地，我们证明了对几乎处处的 $\alpha$ 和每个起点 $(x_1, x_2)$，每个没有斜率为 $\alpha$ 的边的多边形 $S$ 是一个有界余数集。此外，对每个边界处处二次连续可微且曲率为正的凸集 $S$，对几乎处处的 $\alpha$ 和每个起点 $(x_1, x_2)$ 是有界余数集。最后我们证明这些断言在某种意义下是最佳可能的。