Morin 与折叠映射的障碍：Stiefel-Whitney 类与奇点轨迹的 Euler 特征

对于奇点类型 $\eta$，设 $\eta$-避免数为 $n$ 维流形 $M$ 的最小 $k$，使得存在映射 $M\to\mathbb{R}^{n+k}$ 不包含 $\eta$ 类型奇点。例如，$\eta=\Sigma^1$ 的情况是流形的嵌入问题，这一问题在实射影空间中已广泛研究。本文研究其他奇点类型的 $\eta$-避免数。我们的研究结果分为两个层次：首先，我们给出抽象的论证，证明非零的上同调类位于奇点轨迹 $\eta(f)$ 上，从而证明 $\eta(f)$ 不可能为空。其次，我们将这种障碍解释为奇点轨迹 $\eta(f)$ 的一个非零不变量。我们所采用的方法是Sullivan的Stiefel-Whitney类，这些类是Chern-Schwartz-MacPherson (CSM)类的模2、实数类比。我们引入了奇点的Segre-Stiefel-Whitney类 ${\rm s}^{\rm sw}_\eta$，其最低次数项为 $\eta$ 的模2 Thom多项式。通过这些技术，我们计算了一些奇点轨迹的Euler特征的普遍公式。