再论 Foguel 算子的数值值域

Foguel 算子定义为 $F_T=\begin{bmatrix}S^* & T \\ 0 & S\end{bmatrix}$，其中 $S$ 是 Hilbert 空间 $\mathcal H$ 上的右移算子，$T$ 可以是 $\mathcal H$ 上任意有界线性算子。显然，当 $T=0$ 时 $F_T$ 的数值值域 $W(F_0)$ 为开单位圆盘；Gau、Wang 与 Wu 在其 LAA'2021 论文中推测，对于非零 $a\in\mathbb C$，$W(F_{aI})$ 可能是一个椭圆盘。本文明确刻画了 $W(F_{aI})$，而事实上它并非椭圆盘。