带限制的 KPZ 方程数值积分

在本文中，我们引入了一种 Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) 方程的新型积分方法。众所周知，若在 KPZ 方程的离散积分过程中最近邻高度差超过临界值，就会出现不稳定性并导致积分发散。避免这些不稳定性的一种方法是将 KPZ 非线性项替换为依赖于单个可调参数的同一项的函数，该参数能够控制界面上生长的柱或槽。此处，我们提出一种不同的积分方法，其直接限制 KPZ 非线性项所取的值，从而施加一条限制规则，该规则应用于每个积分时间步，如同受限离散模型（例如受限固体在固体上 (RSOS)）的生长规则一般。将带限制的离散 KPZ 方程化为其无量纲版本后，积分依赖于三个参数：耦合常数 $g$、时间步倒数 $k$，以及限制常数 $\varepsilon$，后者被选取用于消除发散同时保持连续 KPZ 方程的所有性质。我们详细研究了参数空间中避免一维积分发散的条件，并用一特定参数集重现了连续 KPZ 的标度性质。我们将经过验证的方法应用于 $d$ 维情形（$d = 3,4$），旨在通过建立耦合常数 $g$ 的条件来获取生长指数 $\beta$，在这些条件下我们恢复了其他作者已达到的已知值，特别是针对 RSOS 模型。该方法使我们推断出 $d = 4$ 并非 KPZ 普适类的临界维度，而强耦合相在该处消失。