无穷乘积 \prod_{n=1}^\infty (1 - tx^n) 的数值计算
数值分析
2025-10-20 v1 数值分析
摘要
我提出并分析了一种二次收敛算法,用于计算无穷乘积 \prod_{n=1}^\infty (1 - tx^n),其中 t 与 x 为任意满足 |x| < 1 的复数,该算法基于 Euler 恒等式 \prod_{n=1}^\infty (1 - tx^n) = \sum_{m=0}^\infty {(-t)^m x^{m(m+1)/2} \over (1-x)(1-x^2) ... (1-x^m)}。随着 |x| \uparrow 1,算法效率下降,但远慢于此前的算法。关键引理是 Dedekind eta 函数在纯虚数自变量 \eta(iy) 处的双边估计,该估计在两端点 y=0,\infty 处精确,并在整个区间 0 < y < \infty 内精确到 9.1% 以内。
引用
@article{arxiv.math/0212035,
title = {Numerical Computation of \prod_{n=1}^\infty (1 - tx^n)},
author = {Alan D. Sokal},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0212035},
year = {2025}
}