Okada 子式求和公式的一个应用

Noam Elkies 与 Everett Howe 各自注意到关于多重积分 \int_R \prod_{1 \le i < j \le k} (x_j-x_i) dx_1 \cdots dx_k 的某个优美的乘积公式，其中区域 $R$ 是满足 $0 < x_1 < \cdots < x_k < 1$ 的 $k$ 元组集合。后来该公式被证明是 Selberg 公式的特例。我们证明了一个显然不同的推广 \int_R \det\left(x_i^{a_j-1}\right)dx_1 \cdots dx_k = {\prod_{1 \le i<j \le k}(a_j-a_i)\over \prod_{1 \le i \le k} a_i \prod_{1 \le i<j \le k} (a_j+a_i)}。关键工具是 Okada 关于对 $n\times k$ 矩阵的 $k\times k$ 子式求和的一个显著恒等式的极限形式。