一类非局部扩散问题的惩罚间断伽辽金方法的数值分析
数值分析
2024-08-15 v1 数值分析
摘要
本文考虑了一维非局部扩散（ND）问题的间断伽辽金（DG）方法族。非局部模型，即积分方程，广泛用于描述具有长程相互作用的许多物理现象。ND 问题是经典扩散问题的非局部类比，当相互作用半径（视界）消失时，非局部性随之消失，ND 问题收敛于经典扩散问题。在某些条件下，ND 问题的精确解可能表现出不连续性，使其区别于经典扩散问题。由于 DG 方法在过去几十年中在计算流体动力学中展现出解决不连续性问题的巨大优势，因此自然地采用 DG 方法来计算 ND 问题。基于 [Du-Ju-Lu-Tian-CAMC2020]，我们开发了具有不同惩罚项的 DG 方法，确保所提出的 DG 方法在视界消失时具有局部对应物。这表明所提出的方法在视界消失时将收敛于现有的 DG 格式，这对于实现渐近兼容性至关重要。我们提供了严格的证明来展示所提出的 DG 格式的稳定性、误差估计和渐近兼容性。为了观察非局部扩散的效果，我们还考虑了具有非局部扩散的时间依赖对流扩散问题。我们进行了若干数值实验，包括精度测试和带有非局部扩散的 Burgers' 方程，并采用了多种视界来展示所提出算法的良好性能并验证理论发现。
引用
@article{arxiv.2408.07261,
title = {Numerical analysis of a class of penalty discontinuous Galerkin methods for nonlocal diffusion problems},
author = {Qiang Du and Lili Ju and Jianfang Lu and Xiaochuan Tian},
journal= {arXiv preprint arXiv:2408.07261},
year = {2024}
}