关于正压缩算子有序乘积的 Paszkiewicz 猜想注记

Paszkiewicz 猜想断言，给定可分无限维 Hilbert 空间 $H$ 上正压缩算子的递减序列 $T_1\ge T_2\ge \dots$，乘积 $S_n=T_nT_{n-1}\cdots T_1$ 在强算子拓扑中收敛。在这些注记中，我们给出了他的猜想的一个等价且更精确的表述。此外，我们证明了该猜想在以下两种情况下成立：(1) 对某个 $n\in \mathbb{N}$，$1$ 不在 $T_n$ 的本质谱中。(2) 由 $\{T_n\mid n\in \mathbb{N}\}$ 生成的 von Neumann 代数允许一个忠实的正规迹态。我们还指出，关于弱收敛的类似猜想是正确的。