关于Krein与Levin谱分解结果的注记

Bohr证明一致殆周期函数 $f$ 具有有界谱当且仅当它可延拓为指数型 $\tau(F) < \infty$ 的整函数 $F$。若 $f \geq 0$，则Krein的一个结果蕴含 $f$ 容许分解 $f = |s|^2$，其中 $s$ 延拓为指数型 $\tau(S) = \tau(F)/2$ 且在开上半平面无零点的整函数 $S$。谱因子 $s$ 在模为 $1$ 的乘性因子意义下唯一。Krein与Levin构造了 $f$ 使得 $s$ 非一致殆周期，并证明若 $f \geq m > 0$ 具有绝对收敛Fourier级数，则 $s$ 为一致殆周期且具绝对收敛Fourier级数。我们导出 $f \geq m > 0$ 使 $s$ 为一致殆周期的充要条件，构造了一个具有非绝对收敛Fourier级数但 $s$ 为一致殆周期的 $f \geq m > 0$，并提出研究问题。