关于 X 教授一个定理的注记

在 $1922$ 年抵达法兰克福和 $1929$ 年证明其著名的整点有限性定理之间，Siegel 没有发表任何文章。然而，他在 $1926$ 年确实给 Mordell 写了一封信，在信中他解释了超椭圆曲线上整点有限性的证明。认识到该论证的重要性（以及 Siegel 对发表的看法），Mordell 将相关摘录以化名“X”送去发表。本注记的目的是解释如何优化 Siegel $1926$ 年的技术以获得以下界。设 $K$ 为数域，$S$ 为 $K$ 的有限位集合，$f\in \mathfrak{o}_{K,S}[t]$ 为次数 $d\geq 5$ 且判别式 $\Delta_f\in \mathfrak{o}_{K,S}^\times$ 的首一多项式。则：$$\#|\{(x,y) : x,y\in \mathfrak{o}_{K,S}, y^2 = f(x)\}|\leq 2^{\mathrm{rank}\,\mathrm{Jac}(C_f)(K)}\cdot O(1)^{d^3\cdot ([K:\mathbb{Q}] + \#|S|)}.$$ 这分别改进了 Evertse-Silverman 和 Bombieri-Gubler 在 $1986$ 年和 $2006$ 年给出的界。我们改进的要点在于，非正式地说，我们坚持“在仅存在一个根（而非三个根）的情况下执行下降，直到最后可能的时刻”。