高度界与 Siegel 性质

设 $\mathbf{G}$ 为定义在 $\mathbb{Q}$ 上的约化群，$\mathfrak{S}$ 为 $\mathbf{G}(\mathbb{R})$ 中的 Siegel 集。Siegel 性质告诉我们，只有有限多个具有有界行列式和分母的 $\gamma \in \mathbf{G}(\mathbb{Q})$ 使得平移 $\gamma.\mathfrak{S}$ 与 $\mathfrak{S}$ 相交。我们证明了这些 $\gamma$ 的高度关于行列式和分母是多项式界的。该界推广了 Habegger 和 Pila 处理 $\mathbf{GL}_2$ 情形的结果，并对 Shimura 簇中非可能相交的 Zilber--Pink 猜想有所应用。此外，我们证明了如果 $\mathbf{H}$ 是 $\mathbf{G}$ 的子群，则 $\mathbf{H}$ 的每个 Siegel 集都包含在 $\mathbf{G}$ 的某个 Siegel 集的有限多个 $\mathbf{G}(\mathbb{Q})$-平移的并集中。