三项式根的范数

对于固定支撑集$A = \{0,t,s+t\} \subset \mathbb{N}$，单变量三项式$z^{s+t} + p z^t + q \in \mathbb{C}[z]$的根的范数随系数$p,q \in \mathbb{C}$选择而变化的行为，是一个经典的 19 世纪末至 20 世纪初的问题。尽管 P. Bohl 在 1908 年已对其进行了代数刻画，但相应系数参数空间的几何与拓扑结构仍有待揭示。假设$s$和$t$互质，我们通过用阿米巴理论重新诠释该问题，提供了对三项式空间的此类刻画。给定范数的根在三项式空间的$\mathbb{C}$-切片上由内摆线曲线参数化，而具有该范数的重根恰好出现在奇点上。作为主要结果，我们表明，所有具有支撑集$A$且某些根具有相同范数的三项式集合及其补集，均可形变收缩至环面纽结$K(s+t,s)$，因此它们是连通的但不是单连通的。例外情况是第$t$小范数与第$(t+1)$小范数重合的情形。此时，补集具有不同的拓扑结构，因为其基本群为$\mathbb{Z}^2$。