基于单参数纽结理论的纽结多项式

我们构造新的纽结多项式。设 $V$ 为三维空间中的标准实心环面，$pr$ 为其到环面上的标准投影。令 $M$ 为 $V$ 中所有光滑定向纽结构成的空间，使得 $pr$ 的限制为浸入（例如经典纽结在其经线补中的正则图）。$M$ 的每个连通分支上存在一个典范的一维同调类。我们构造从 $M$ 的第一同调群到 Laurent 多项式环的同态。每个这样的同态作用于该典范同调类给出一个纽结不变量。设 $\gamma$ 为 $M$ 中的一般光滑定向环路（即环面上的纽结图的一参数族）。对 $\gamma$ 中有限个点，其对应的纽结图在投影 $pr$ 中具有普通三重点或普通自切。对每一个这样的图，我们利用 Kauffman 括号或 Alexander 多项式的 Kauffman 状态模型的推广，赋予某个 Laurent 多项式。然后我们对 $\gamma$ 中所有三重点和所有自切取这些多项式的代数和。所得多项式仅依赖于 $\gamma$ 的同调类，当且仅当它满足两类方程：四面体方程与立方体方程。我们找到了五个不同的非平凡解。