单色三角形的正态逼近与四阶矩定理

给定图序列 $\{G_n\}_{n \geq 1}$，记 $T_3(G_n)$ 为将 $G_n$ 的顶点用 $c \geq 2$ 种颜色均匀随机染色后单色三角形的个数。这是生日悖论的一种推广，其中 $G_n$ 对应友谊网络，$T_3(G_n)$ 统计生日相同的三朋友组的数量。本文证明了 $T_3(G_n)$ 的中心极限定理（CLT），并给出显式误差率。证明通过基于某种组合计分函数仔细排序 $G_n$ 的顶点来构造鞅差序列，并使用鞅 CLT 的定量版本。随后我们将该误差项与著名的四阶矩现象联系起来，有趣的是，这仅在颜色数 $c \geq 5$ 时成立。我们还证明了对于任意 $c \geq 2$，四阶矩的收敛是获得高斯极限所必需的，结合上述结果可知，当 $c \geq 5$ 时，四阶矩条件刻画了 $T_3(G_n)$ 的极限正态分布。最后，为说明本方法的可行性，我们给出了单色边个数 CLT 的另一种证明，为 Bhattacharya 等人（2017）的结果提供了定量速率。