单色子图的二阶矩现象

在一群 $n$ 个朋友中，有 $s$ 个朋友生日全相同的概率是多少？这是著名的生日问题，可表述为在完全图 $K_n$ 中存在单色 $s$-团 $K_s$（$s$ 个匹配生日），其中 $K_n$ 的每个顶点被均匀涂上 $365$ 种颜色（对应生日）。更一般地，对于一般的连通图 $H$，令 $T(H, G_n)$ 为图 $G_n$ 的顶点用 $c_n$ 种颜色均匀随机着色时 $H$ 的单色副本数。本文中我们证明当 $\mathbb E T(H, G_n) \rightarrow \lambda$ 且 $\mathrm{Var} T(H, G_n) \rightarrow \lambda$ 时，$T(H, G_n)$ 收敛到 $\mathrm{Pois}(\lambda)$，即 $T(H, G_n)$ 的渐近 Poisson 分布仅由其均值与方差的收敛决定。此外，该条件是必要的当且仅当 $H$ 是星图。事实上，二阶矩现象是有关 $T(H,G_n)$ 收敛到独立 Poisson 随机变量有限线性组合的一个更一般定理的结果。作为一个应用，我们推导了当 $G_n\sim G(n, p)$ 为 Erd\H os-R\'enyi 随机图时 $T(H, G_n)$ 的极限分布。随着 $p$ 从 0 变到 1，根据图 $H$ 是平衡还是非平衡，会出现多重相变。