单色子图渐近正态性的四阶矩现象

给定图序列 $\{G_n\}_{n\ge1}$ 与简单连通子图 $H$，记 $T(H,G_n)$ 为用 $c \ge 2$ 种颜色对 $G_n$ 进行均匀随机顶点着色时 $H$ 的单色副本数。本文证明了 $T(H,G_n)$ 的中心极限定理并给出显式误差率。这些误差率源于由我们称为良好连接的 $H$ 副本拼接而成的集合的图计数。良好连接的计数与 $T(H,G_{n})$ 归一化版本的四阶矩密切相关，该联系使我们能展示中心极限定理的四阶矩现象。确切地说，对于 $c\ge 30$，我们证明只要四阶矩收敛到 3（标准正态分布的四阶矩），$T(H,G_n)$（适当中心化与重标度后）便依分布收敛到 $\mathcal{N}(0,1)$。我们表明当 $c\ge 2$ 时四阶矩的收敛对于获得正态极限是必要的。这些结果的组合意味着：对于所有子图 $H$，只要 $c\ge 30$，四阶矩条件就刻画了 $T(H,G_n)$ 的极限正态分布。