最大平均度的 Nordhaus-Gaddum 类型定理

图的 $k$ 划分 $(G_1,\dots,G_k)$ 是将其边集划分为 $k$ 个支撑子图 $G_1,\dots,G_k$ 的划分。Nordhaus 和 Gaddum 的经典定理对 $K_n$ 的所有 2 划分的 $\chi(G_1) + \chi(G_2)$ 和 $\chi(G_1) \chi(G_2)$ 进行上界估计。对于图参数 $p$，设 $p(k,G) = \max \{ \sum_{i=1}^k p(Gi) \}$，其中取遍所有 $k$ 划分的图 $G$。本文我们考虑 $M(k,K_n) = M(k,n) = \max \{ \sum_{i=1}^k \mathrm{Mad}(G_i) \}$，其中取遍所有 $k$ 划分的完全图 $K_n$，$\mathrm{Mad}(G)$ 表示图 $G$ 的最大平均度，$\mathrm{Mad}(G) = \max \{ 2e(H)/|H| : H \subseteq G \} = \max \{d(H) : H \subseteq G \}$。本文获得的众多结果中，我们提及以下选定结果：(1) $M(k, n) < \sqrt{k} n$，且 $\lim_{k\to\infty} ( \liminf_{n\to\infty} \frac{M(k,n)}{\sqrt{k}\,n} ) = 1$。(2) 精确求解 $M(2,n)$。(3) 在 $k = \binom{n}{2} - t$，$0 \leq t\leq (n-1)^2/3$ 时精确求解 $M(k,n)$。这些界限对文献中其他参数也给出了应用。