具有可积核的非局部平均曲率

我们在非局部背景下研究给定常数平均曲率问题，其中非局部曲率定义为 $$H^J_{\Omega}(x):=\int_{\mathbb{R} ^n} J(x-y)(\chi_{\Omega^c}(y)-\chi_{\Omega}(y))dy,$$ 其中 $x \in \mathbb{R}^n$，$\Omega \subset \mathbb{R}^n$，$\chi$ 为集合的特征函数，$J$ 为径向对称、非负、非增的卷积核。已有若干论文研究了具有非可积奇点的非局部曲率情形，这是经典曲率概念的推广，要求边界正则性高于 $C^2$。此类形式的非局部曲率出现在许多不同应用中，如图像处理、曲率驱动运动、形变。本文中，我们关注由可积核定义的常数非局部曲率问题。我们的结果对非可积核的常数平均曲率问题作了一些推广，其中非局部框架下的 Alexandrov 定理对应结果已由两个独立小组分别建立：Ciraolo、Figalli、Maggi、Novaga，以及 Cabr\'e、Fall、Sol\`a-Morales、Weth。利用非局部 Alexandrov 定理，我们将不同可积核的常数非局部平均曲率曲面识别为相距 $\delta$ 的球的并集，其中 $\delta$ 度量非局部相互作用的半径。