非线性开映射原理及其在 Jacobian 方程与其他尺度不变偏微分方程中的应用

对于满足某些结构假设的非线性算子 $T$，我们的主定理陈述了以下断言等价：i) $T$ 是满射，ii) $T$ 在零处是开的，以及 iii) $T$ 有有界右逆。该定理适用于在弱$^*$ 收敛下方程稳定的正则性区域中的众多尺度不变偏微分方程。我们探讨的两个具体例子是 Jacobian 方程和不可压缩流体流动方程。对于 Jacobian，判定其在临界 Sobolev 空间与 Hardy 空间之间是否为满射是一个长期未决的开放问题。朝着否定答案，我们证明如果 Jacobian 是满射，则只需排除存在惊人良态的解。对于不可压缩 Euler 方程，我们证明对任意 $p<\infty$，存在 $L^p_t L^2_x$ 中耗散弱解的初值集合在螺线管 $L^2$ 场空间中是第一纲的。类似结果对其他不可压缩流体动力学方程也成立。