基于小信号有限增益 $\mathcal{L}_p$ 稳定性的过渡性剪流非线性输入输出分析

本文提出的小信号有限增益 $\mathcal{L}_p$ 稳定性（SSFG Lp 稳定性）定理可预测在何种强迫�幅下面才能维持有限的非线性输入输出增益。我们的分析运用线性矩阵不等式（LMI）和二次求和（SOS）作为主要工具，在无强迫的非线性系统中搜索二次 Lyapunov 函数。得到的 Lyapunov 函数可对非线性输入输出系统的 SSFG Lp 稳定性进行认证。我们以九模剪流模型（受随机体力作用）为例，演示了 SSFG Lp 稳定性定理的适用性。数值仿真得到的非线性输入输出 Lp 增益与理论预测一致；仿真中输出的 Lp 范数始终受限于 SSFG Lp 稳定性定理的理论预测值；随着 $p \rightarrow \infty$，仿真值与理论边界之间的差距逐渐缩小。从非线性 SSFG Lp 稳定性定理得到的输入输出增益高于线性 Lp 增益。线性 Lp 增益和非线性 Lp 增益对每个 $p \in [1,\infty]$ 都有效，这种普适性使得输入输出增益的上界显著高于由线性 L2 增益预测的值。SSFG Lp 稳定性定理要求输入强迫小于维持有限输入输出增益的可接受强迫�幅，这是一种固有的非线性行为，无法由线性输入输出分析予以预测。我们还通过数值仿真和二分搜索识别出此可接受强迫�幅；在此强迫�幅以下，系统在任意时刻的输出范数都低于给定阈值。SSFG Lp 稳定性定理识别出的可接受强迫�幅保守但也与数值仿真和二分搜索的结果一致。