双曲型方程组中 $T_4$ 构型的不存在性与 Liu 熵条件

我们研究由一维空间中具有一个熵与熵通量对的 $2\times 2$ 守恒律方程组所产生的本构集 $\mathcal{K}$。集 $\mathcal{K}$ 的凸性性质与底层方程组的适定性以及通过凸积分构造解的能力相关。在与 $\mathcal{K}$ 的凸性相关的研究中，Lorent 与 Peng [Calc. Var. Partial Differential Equations, 59(5):Paper No. 156, 36, 2020] 在 $p$-系统的特例中证明了 $\mathcal{K}$ 不包含 $T_4$ 构型。最近，Johansson 与 Tione [arXiv e-prints, page arXiv:2208.10979, August 2022] 证明了 $\mathcal{K}$ 不包含 $T_5$ 构型。本文基于对一大类 $2\times 2$ 方程组激波曲线的细致分析，对这些结果给出了实质性推广。特别地，我们给出了关于一般方程组的几组假设，可用于排除本构集 $\mathcal{K}$ 中 $T_4$ 构型的存在性。具体而言，我们的结果表明，对于所有已知的满足 Liu 熵条件的 $2\times 2$ 双曲型守恒律方程组，$\mathcal{K}$ 中均不存在 $T_4$ 构型。