管状域中超临界增长 Dirichlet 问题的解的不存在性

我们处理如下形式的 Dirichlet 问题 $$\Delta u+f(u)=0 \mbox{ in }\Omega,\qquad u=0\ \mbox{ on }\partial \Omega$$ 其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$（$n\ge 3$）中的有界域，且从 Sobolev 嵌入的观点看 $f$ 具有超临界增长。特别地，我们考虑 $\Omega$ 为管状域 $T_\varepsilon(\Gamma_k)$ 的情形，其厚度为 $\varepsilon>0$，中心 $\Gamma_k$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中 $k$ 维光滑紧子流形。我们的主要结果涉及 $k=1$ 且 $\Gamma_k$ 自身可缩的情形。在此情形下，我们证明对于足够小的 $\varepsilon>0$，该问题没有非平凡解。当 $k\ge 2$ 或 $\Gamma_k$ 自身不可缩时，我们得到较弱的不存在性结果。一些例子表明，所有这些关于 $k$ 与 $f$ 的假设的结果都是锐利的。