广义能量临界 Hartree 方程正气泡解的非退化性

本文中，我们证明了广义能量临界 Hartree 方程（NLH）\begin{equation*} -{\Delta u}\sts{x} -{\bm\alpha}\sts{N,\lambda} \int_{\R^N} { \frac{ u^{p}\sts{y}}{\pabs{\,x-y\,}{\lambda}} }\diff{y}\, u^{p-1}\sts{x} =0,\quad x\in \R^N \end{equation*} 正气泡解的非退化性，其中 $N\geq 3$，$0<\lambda<N$，$p=\frac{2N-\lambda}{N-2}$，且 ${\bm\alpha}\sts{N,\lambda}$ 为归一化常数，使得 $u(x)=\left(1+|x|^2\right)^{-\frac{N-2}{2} }$ 为方程 \eqref{NLH} 的一个气泡解。它解决了 \cite{MWX:Hartree, GMYZ2022cvpde} 中一个开放的非退化问题，并将 \cite{DY2019dcds, GWY2020na, LTX2021} 中的部分非退化结果推广至全范围 $0<\lambda<N$。关键观察在于，通过使用球极投影 $\mathcal{S}$，加权前推映射 $\mathcal{S}_*$ 是线性化算子的零空间与一次球面调和函数子空间 $\mathcal{H}_1^{N+1}$ 之间的一一映射。