空间局域耗散周期阵列中的非衰减线性与非线性模式

我们证明了在一维相同空间局域耗散周期阵列中存在极弱衰减的线性和非线性模式（即对耗散免疫的模式），其中耗散宽度远小于阵列周期。我们考虑由一维 Schrödinger 方程控制的波传播，该方程处于具有三个参数的相同高斯型耗散阵列中：积分耗散强度 $\Gamma_0$、宽度 $\sigma$ 和阵列周期 $d$。在线性情况下，设定 $\sigma\to0$ 同时保持 $\Gamma_0$ 固定，我们得到由 Dirac delta 函数给出的零宽度耗散阵列，即复 Kronig-Penney 模型，其中出现无限多个非衰减模式，其 Bloch 指数位于类布里渊区的中心 $k= 0$ 或边界 $k= \pi/d$。通过数值模拟，我们确认当 $\sigma$ 满足 $\sigma/d\ll1$ 时，弱衰减模式依然存在且具有相同的 Bloch 指数。如果在空间周期性耗散阵列中加入实值周期势，且耗散阵列的周期是周期势周期的倍数，非衰减模式也依然存在。我们还考虑了具有空间周期性耗散格点的非线性 Schrödinger 方程中孤子形脉冲的演化，发现当脉冲宽度远大于格点周期且其波数 $k$ 位于中心 $k= 2\pi/d$ 或边界 $k= \pi/d$ 时，脉冲的显著部分逃逸出耗散，形成具有孤子形包络的稳态非线性模式，其傅里叶谱由集中在 $k$ 和 $-k$ 的两个峰组成。