由莱维噪声驱动的非线性朗之万方程的非高斯极限定理

在本文中，我们研究由对称非高斯莱维过程 $Z^\varepsilon$ 驱动的非线性二阶朗之万方程 $\ddot x^\varepsilon_t +|\dot x^\varepsilon_t|^\beta=\dot Z^\varepsilon_{\varepsilon t}$, $\beta\in\mathbb R$ 的解在小噪声下的行为。该方程描述了一个单自由度力学系统在非线性摩擦和噪声振动下的动力学。对于复合泊松噪声，过程 $x^\varepsilon$ 在宏观时间尺度 $t/\varepsilon$ 上可自然解释为一个对驱动过程的每一次单跳变做出响应的非线性滤波器。我们证明，在主要条件 $\alpha+2\beta<4$ 下，由一般对称莱维噪声驱动的系统表现出本质上相同的渐近行为，其中 $\alpha\in [0,2]$ 是族 $\{Z^\varepsilon\}_{\varepsilon>0}$ 的“一致”Blumenthal--Getoor指数。