具有小型分层稳定噪声的非线性朗之万系统在总变差距离下的截断现象

本文针对一类典型的非线性朗之万系统提供截断现象的扩展案例研究，该系统具有单一稳定态，并受到振幅 $\varepsilon>0$ 的加性纯跳跃 Lévy 噪声扰动，其中驱动噪声过程为分层稳定类型。在漂移 coercive 条件下，相关过程族 $X^\varepsilon$ 在总变差距离下是指数遍历的，其平衡分布为 $\mu^{\varepsilon}$，这将 Peng 与 Zhang（2018）的结果推广到任意多项式矩。主要结果在 Blumenthal-Getoor 指数 $\alpha>3/2$ 的充分光滑条件下，确立了关于总变差的截断现象。也就是说，在此设定下，我们确定一个确定性时间尺度 $\mathfrak{t}_{\varepsilon}^{\mathrm{cut}}$ 满足 $\mathfrak{t}_ \varepsilon^{\mathrm{cut}} \rightarrow \infty$（当 $\varepsilon \rightarrow 0$ 时），以及相应时间窗 $\mathfrak{t}_\varepsilon^{\mathrm{cut}} \pm o(\mathfrak{t}_\varepsilon^{\mathrm{cut}})$，在此期间当前状态与其平衡 $\mu^{\varepsilon}$ 的总变差距离随 $\varepsilon$ 趋于零而基本坍缩。此外，我们将 Barrera 与 Jara（2020）首次建立的、可由该距离收敛到唯一剖面函数所描述的动力学刻画推广到非线性漂移的 Lévy 情形。这导出了可在例子中验证的充分条件，例如受小型对称 $\alpha$-稳定噪声（$\alpha>3/2$）作用的梯度系统。由于缺少相应的 Girsanov 变换（其即使在短时间内也将非线性方程与线性近似渐近耦合），证明技术完全不同于高斯情形。