模式的不存在性与梯度估计

我们将具有 Neumann 边界条件的半线性椭圆方程的任意非常数稳定解称为模式。Casten、Holland [19] 与 Matano [49] 的一个经典定理指出，在凸区域中不存在稳定模式。本文中，我们表明该定理中区域凸性与模式稳定性的假设可在多个方向上放宽。特别地，我们提出了模式不存在性的一般判据，可处理可能非凸的区域与不稳定模式。我们的结果揭示了区域几何、非线性项大小与模式稳定性之间的相互作用。我们给出了若干应用，例如，证明（在几何假设下）若区域收缩或非线性项幅度较小则不存在模式。我们还改进了 Casten、Holland 与 Matano 的结果，并证明其对于区域与非线性项的光滑扰动具有鲁棒性。此外，我们建立了关于（1）中模式的若干梯度估计。我们证明了一个一般非线性 Cacciopoli 不等式（或逆 Poincar{\'e} 不等式），表明解的梯度的 L2 范数受 f(u) 的 L2 范数控制，其常数仅依赖于区域。该不等式对非齐次方程也成立。我们还给出了若干平坦性估计。我们的方法依赖于引入所谓的 Robin-曲率 Laplacian。该算子是区域固有的，并包含大量关于区域几何如何影响解形状的信息。最后，我们将结果推广到无界区域。这使我们改进了先前论文 [53] 的结果，并将关于 De Giorgi 猜想的某些结果推广到更大一类区域。