Kolmogorov 微分同胚在同构意义下的不可分类性

我们考虑对 Kolmogorov 自同构（简称 $K$-自同构）按同构进行分类的问题。在保测变换的集合中，Bernoulli 移位具有终极混合性质，而 $K$-自同构具有任何被广泛考察的变换族中次强的混合性质。J. Feldman 观察到，与 Bernoulli 移位不同，$K$-自同构族不能由完备数值 Borel 不变量按同构分类。这为用更复杂的 Borel 不变量对 $K$-自同构进行分类留下了可能性。我们证明这是不可能的：通过证明限制于 $K$-自同构上的同构等价关系（视为 $K$-自同构集合与自身的笛卡尔积的子集）是一个完备解析集，从而不是 Borel 的。此外，我们证明若我们将考虑限制为同时也是 $C^{\infty}$ 微分同胚的 $K$-自同构，结论依然成立。这以具体方式表明按同构分类 $K$-自同构的问题是难处理的。