零熵混合微分同胚的不可可判性

我们证明了对标准非原子概率空间上零熵混合自同构的集合进行同构分类的问题是不可判的。更准确地说，当将这些自同构的配对视为其所属的测量保持自同构集合与自身的笛卡尔积中的子集时，该配对集合并非巴尔可的。这一结果即使限制在五维 torus 上的 $C^{\infty}$ 微分同胚的零熵混合自同构中也依然成立。此外，这两个结果在将"同构"替换为"卡阿库坦等价"时仍然成立。在我们的论证中，我们展示了对于唯一且完全 Ergodic 自同构 $U$ 和特定族自同构 $\mathcal{S}$，若 $T\times U$ 与 $T^{-1}\times U$ 同构且 $T\in\mathcal{S}$，则 $T$ 必须与 ${T^{-1}}$ 同构。然而，这种从同构的笛卡尔积中消去因子的类型在一般情况下并不成立。我们给出一个由 M. Lema\'nczyk 提出的例子，其中包含两个弱混合自同构 $T$ 和 $S$ 以及一个无理旋转 $R$，使得 $T\times R$ 与 $S\times R$ 同构，但 $T$ 与 $S$ 并非同构。