标准 Borel 空间 Borel 自同构群上的拓扑

本文致力于研究标准 Borel 空间 $(X, B)$ 的所有 Borel 自同构之群 $Aut(X,B)$ 上的拓扑。引入了若干拓扑并找出了它们之间的所有可能关系。其中之一的拓扑 $\tau$ 是遍历论中广泛使用的一致拓扑的直接类比。我们考虑了 $Aut(X, B)$ 中最自然的子集并求出了它们的闭包。特别地,我们描述了由 odometer、周期、非周期、不可压缩以及光滑自同构在所定义拓扑下构成的子集的闭包。证明了周期 Borel 自同构之集在 $\tau$ 意义下于 $Aut(X, B)$ 中稠密(Rokhlin 引理)。证明了 odometer(以及秩 1 Borel 自同构)的 $\tau$-闭包与所有非周期自同构之集重合。对任一非周期自同构 $T\in Aut(X, B)$,定义并研究了 Borel-Bratteli 图的概念。证明了每个非周期 Borel 自同构 $T$ 都同构于作用在有序 Borel-Bratteli 图的无穷路径空间上的 Vershik 变换。给出了该结果的若干应用。