O-极小理论同构的 Borel 复杂度

给定一个可数 o-极小理论 T，我们根据两个模型论不变量刻画了 T 的可数模型同构的 Borel 复杂度。如果 T 容许非简单型，则通过将线性序的同构问题嵌入到 T 的模型同构问题中，证明其为 Borel 完备。这是通过在合适的非简单型的 Archimedean 阶梯尾部构造具有特定线性序的模型来完成的。如果该理论不容许非简单型，则我们利用 Mayer 对此类理论同构的刻画来计算可数模型的不变量。如果该理论是小的，则不变量为实值，因此其同构关系是光滑的。如果不是，则不变量对应于一个可数实数集，因此其同构关系 Borel 等价于$F_2$。综合这两个结果，我们得出结论：(Mod(T),$\cong$) 要么是最复杂的，要么是最不复杂的（受限于基于型数量和可数模型数量的完全一般的模型论下界）。