非阿伯尔当 Koksma 定理与异常集维数

我们建立了非阿伯尔当 Koksma 定理的类比。对于特征为零的局部域 $F$，证明序列 ([${\alpha}x^n$]) 在价值环 $O$ 上对几乎所有 $|x|_p>1$ 的 $x$ 均是均匀分布的。在正特征情形下，([$x^n$]) 不再均匀分布，但对某加权测度 ${\mu}^*$ 形式下 ${\mu}^*$ -均匀分布。这些结果源自由扩张比例图产生的序列的一般度量定理。另一方面，我们展示了参数 $x$ 的异常集（即这些序列不均匀分布的参数集合）具有满 Hausdorff 维数，并呈现丰富的 $q$ -齐次分形结构。