有限域上的球面高阶傅里叶分析 I：nil序列的等分布

本文是系列论文“有限域上的球面高阶傅里叶分析”的第一部分，旨在发展有限域上沿球面的高阶傅里叶分析方法，并解决有限域环境下的几何拉姆齐猜想。在本文中，我们证明了 nilmanifold 中多项式序列的定量等分布定理，其中平均值是沿球面而非立方体取的。更确切地说，设 $\Omega\subseteq \mathbb{Z}^{d}$ 为球面 $\mathbb{F}_{p}^{d}$ 在从 $\mathbb{Z}^{d}$ 到 $\mathbb{F}_{p}^{d}$ 的自然嵌入下的原像。我们证明了如果有理多项式序列 $(g(n)\Gamma)_{n\in\Omega}$ 在 nilmanifold $G/\Gamma$ 上不是等分布的，则存在 $G/\Gamma$ 的一个非平凡水平特征 $\eta$，使得 $\eta\circ g \mod \mathbb{Z}$ 在 $\Omega$ 上消失。我们还证明了由 $\mathbb{F}_{p}^{d}$ 上定义的二次型产生的更一般集合的定量等分布和分解定理。这些结果将作为本系列后续部分证明球面 Gowers 逆定理和几何拉姆齐猜想的基础工具。