超序列的不动点定理与广义微分几何基础 I：简化代数

不动点定理是用于证明微分方程存在性与唯一性的众多工具之一。当所涉及的数据包含分布的乘积时，其中某些工具可能不再适用。由此产生了发展能够处理此类情形的新环境与新工具的必要性。本文奠定了广义微分几何的基础，以经典微分几何为不连续子情形，在 Colombeau 广义函数的框架下证明了超序列的不动点定理，并展示了如何用它来获得数据涉及分布乘积的微分方程的存在性与唯一性。从而也奠定了广义分析的基础。本文还承接了这一脉络，奠定了广义流形的基础，并表明每个经典流形都可以离散地嵌入到一个广义流形中，使得后者的微分结构是前者微分结构的自然推广。由此推得 ${\cal{D}}^{\prime}(\Omega)$ 离散嵌入于 ${\cal{G}}(\Omega)$，且 $C^{\infty}(\Omega)$ 的元素在 ${\cal{G}}(\Omega)$ 中构成等距点栅格，以及 ${\cal{G}}(\Omega)$ 中的关联是拓扑而非代数概念。因此，微分方程的经典解十分稀少。这些成果依赖于第一作者及其合作者所发明的广义微分微积分。希望广义微分微积分及本文所呈现的发展能引起分析、应用数学、几何与物理领域工作者的兴趣。