有限域上的球面高阶傅里叶分析 II：平移理想的加法组合学

本文是“有限域上的球面高阶傅里叶分析”系列的第二部分，旨在发展沿有限域上球面的高阶傅里叶分析方法，并解决有限域背景下的几何拉姆齐猜想。在本文中，我们研究平移模的加法组合性质，即形如 $E\hat{+} E$ 的集合的结构，其中 $E$ 是多项式环 $\mathbb{R}[x_{1},\dots,x_{d}]$ 的平移模的集合，并且若两个模的差包含零多项式，则将它们视为等同。我们证明，在适当的定义下，集合 $E\hat{+} E$ 具有类似于传统阿贝尔群子集背景下的性质。特别地，除其他结果外，我们在平移模背景下证明了 Balog-Gowers-Szemerédi 定理、Rusza 拟三角不等式以及 Plünnecke-Rusza 定理的一种弱形式。我们还证明，对于一类从 $\mathbb{Z}_{K}^{d}$ 到 $\mathbb{R}[x_{1},\dots,x_{d}]$ 的所有平移模的集合的特殊映射 $\xi$，如果集合 $\xi(\mathbb{Z}_{K}^{d})+\xi(\mathbb{Z}_{K}^{d})$ 具有大的加性能量，那么 $\xi$ 是一个几乎线性的 Freiman 同态。这一结果是我们证明本系列后续部分中的球面 Gowers 逆定理所需的关键加法组合学输入。