非球面 5-流形上无正数量曲率度量

若对所有 $x\in X$ 的点周围的球，存在{\it 零调控制函数} $R=R(r)=R_X(r)\geq r$，$0\leq r <\infty$，使得同调包含同态 $$H_i(B_x(r))\to H_i(B_x(R))$$ 对所有 $i=1,2,\ldots$ 消失，则称度量空间 $X$ 是一致零调的。我们证明，若完备可定向的 $m$ 维流形 $\tilde X$（$m\leq 5$）容许到一个完备 $m$ 维一致零调流形的真（无穷远到无穷远）距离递减映射，则 $\tilde X$ 的数量曲率不可能一致为正，即 $$\inf _{x\in \tilde X}Sc(X,x) \leq 0.$$ 由于紧致非球面流形 $X$ 的通用覆盖 $\tilde X$ 是{\it 一致零调的}（事实上是{\it 一致可缩的}），这些 $X$ 在 $dim (X)\leq 5$ 时不容许 $Sc>0$ 的度量。我们的论证依赖于{\it 稳定 $\mu$-泡}的{\it 环面对称化}，受 Otis Chodosh 与 Chao Li 近期关于非球面 4-流形上不存在 $Sc>0$ 度量的论文启发，并也受 Jintian Zhu 与 Thomas Richard 的思想影响。