非线性反应网络的新通用 Lyapunov 函数

1961 年，R\'enyi 发现了马尔可夫链动力学（亦即线性动力学方程）的一族丰富的非经典 Lyapunov 函数。该族由正半轴上的凸函数参数化。经 Csisz\'ar 与 Morimoto 的工作后，这些函数作为 $f$-散度或 Csisz\'ar--Morimoto 散度而广为人知。这些 Lyapunov 函数的通用性在于：它们仅依赖于平衡态，而不依赖于动力学参数本身。尽管历经多年研究，针对非线性反应网络仍未发现如此广泛的通用 Lyapunov 函数族。对于具有细致平衡或复杂平衡的一般非线性网络，经典热力学势仍是唯一的通用 Lyapunov 函数。我们为具有细致平衡或复杂平衡的{\em 任意非线性反应网络}构造了一族丰富的新通用 Lyapunov 函数。这些函数由射影空间中的紧子集参数化。它们以同样意义通用：仅依赖于平衡态与网络结构，而不依赖于动力学参数本身。新 Lyapunov 函数构造中的主要元素与运算是反应的部分平衡与函数族的凸包。