所有零星类 Apéry 序列的新表示及其在同余中的应用

我们为 Zagier、Almkvist-Zudilin 和 Cooper 发现的所有 15 个零星类 Apéry 序列找到了新表示，以 Laurent 多项式幂的常数项形式给出。这些新表示导出了这些序列的二项式表达式，与先前的表达式不同，它们不涉及 3 或 8 的幂。我们利用这些证明了超同余 $B_{np^k} \equiv B_{np^{k-1}} \bmod p^{2k}$ 对所有素数 $p \ge 3$ 和整数 $n,k \ge 1$ 成立，其中 $B_n$ 是 Zagier 发现的一个序列，称为序列 $\mathbf{B}$。此外，对于 15 个序列中的 14 个，Laurent 多项式的牛顿多面体（Newton polytopes）以原点为唯一内部整点。这一性质使我们能够证明这些序列满足 Lucas 同余的强形式，推广了 Malik 和 Straub 的工作。而且，我们通过 Delaygue 近期的工作获得了这些序列的 $p$-进赋值（p-adic valuation）的下界。