具有精确边界条件的 Dirac-Coulomb 方程的新精确解

通常将库仑场中波动方程的边界条件写为粗略形式，而未考虑原子核的大小。这种粗略表达式导致具有库仑势的 Klein-Gordon 方程和 Dirac 方程的解在原点发散，且当核电荷数 $Z > 137$ 时出现虚能量，意味着原始解不满足确定解的条件。波函数的任何发散也意味着介子或电子在靠近原子核时概率密度会迅速增加。其所预测的基态原子迅速坍缩成类中子状态并非事实。我们认为原子核具有确定的半径，并为氢原子及类氢原子写出了精确边界条件，随后重新求解径向 Dirac-Coulomb 方程，获得了没有任何数学和物理困难的新精确解。出乎意料的是，在具有精确边界条件求解 Dirac 方程时，由 Dirac 构造的 $K$ 值自然地写入势垒宽度或原子核的等效半径中，且与量子能量无关。在没有任何发散波函数和虚能量的情况下，我们获得了一个新的能级公式，该公式不同于库仑场中的 Dirac 能级公式。