余伴随轨道网络：从几何力学到统计力学

一类具有对称群 $G$ 且作为 Lie-Poisson 系统演化的网络模型是从几何力学框架中推导出来的，它推广了统计力学中研究的经典 Heisenberg 模型。我们考虑了两种耦合自旋的方式：一种通过动量，另一种通过位置，并使用能量-Casimir 方法详细研究了平衡解及其对应的非线性稳定性性质。然后我们以 $G=SO(3)$ 为例，发现动量耦合系统简化为具有大质量自旋的经典 Heisenberg 模型，而位置耦合情况简化为一个具有破缺对称群 $SO(3)/SO(2)$ 的新系统，类似于重陀螺。在后一个系统中，对于某类初始条件，我们在数值上观察到了一种有趣的类似同步的现象。通过添加一种保持网络模型余伴随轨道的噪声和耗散，我们发现不变测度由 Gibbs 测度给出，由此定义了温度的概念。然后，我们在类重陀螺格点模型中观察到了一个令人惊讶的“三峰”相变，即随着我们升高温度，自旋在失去磁性之前从一个平衡位置切换到另一个平衡位置。这项工作只是将几何力学与统计力学联系起来的第一步，还有几个有趣的问题有待进一步研究。