邻集、泛型集与 Scarf-Buchberger 超曲面

本文的动机是推广 Scarf 复形的构造，以便给出比单项式理想更广泛的一类模的组合分辨率。对于任意子集 $A\subseteq \mathbb{R}^n$，令 $\mathfrak{N}(A)$ 表示所有满足如下条件的子集 $B\subseteq A$ 的集合：不存在 $a\in A$ 在全部坐标上严格小于 $B$ 的上确界。我们证明若 $A\subseteq \mathbb{Z}^n$ 是泛型的（在适合此上下文的意义下），则 $\mathfrak{N}(A)$ 是一个局部有限的单纯复形。此外，若 $A$ 是泛型的，则 $\mathfrak{N}(A)$ 的重心细分等价于 $\mathbb{R}^n$ 中一个 PL 超曲面的三角剖分。这给出了由 Miller 和 Sturmfels 描述的“阶梯曲面”与“Buchberger 图”概念到任意维度的自然推广。（这似乎是一个新结果，即使在 $A$ 为 $\mathbb{N}^n$ 有限子集这一被充分研究的情形中也是如此。）我们给出例子表明当 $A$ 无限时，$\mathfrak{N}(A)$ 可能具有复杂的拓扑，但如果对于任意给定的 $b\in \mathbb{R}^n$，$A$ 中位于其下方的元素至多有有限多个，则 $\mathfrak{N}(A)$ 是局部可缩的。因此 $\mathfrak{N}(A)$ 可用于构造群代数 $k[\mathbb{R}^n]$（ $k$ 是一个域）的 sub-$k[\mathbb{N}^n]$-模的局部有限自由分辨率。我们证明了关于 $\mathfrak{N}(A)$ 结构的各种附加事实。