无穷远邻域与约化 $p$-进对称空间的 Plancherel 公式

Yiannis Sakellaridis 和 Akshay Venkatesh 确定了当群 $G$ 为分裂群且域 $\F$ 特征为零时，任何球空间 $X$（模去离散谱的知识）关于 $G$ 的 Plancherel 公式。其出发点是确定 $X/J$ 在无穷远处的良好邻域，其中 $J$ 是 $G$ 的一个小紧开子群。这些邻域与 $X$ 的“边界退化”相关。其存在性的证明利用了 wonderful 紧化。在本文中，我们将证明在假设 $\F$ 的特征不为 2 且 $X$ 为对称空间时，此类邻域的存在性。特别地，我们不假设 $G$ 是分裂的。我们的主要工具是 Benoist 和 Oh 的 Cartan 分解、我们之前对常数项的定义以及 Nathalie Lagier 关于 Eisenstein 积分的渐近性质。一旦确立了 $X$ 在这些无穷远邻域的存在性，Sakellaridis 和 Venkatesh 工作的类比便直截了当，从而导出 $X$ 的 Plancherel 公式。