两类cograph超图上的邻域覆盖与独立性

给定简单图$G$，顶点集$C \subseteq V(G)$称为邻域覆盖集，若$G$的每条边和每个顶点都属于某个$G[v]$，其中$v \in C$，$G[v]$表示由顶点$v$的闭邻域所诱导的子图。$E(G) \cup V(G)$中的两个元素称为邻域独立的，若不存在顶点$v \in V(G)$使得两个元素同时属于$G[v]$。集合$S \subseteq V(G) \cup E(G)$称为邻域独立的，若$S$中任意一对元素都是邻域独立的。设$\rho_{\mathrm n}(G)$为最小邻域覆盖集的大小，$\alpha_{\mathrm n}(G)$为最大邻域独立集的大小。Lehel和Tuza将邻域完美图$G$定义为对其每个导出子图$G'$均满足等式$\rho_{\mathrm n}(G') = \alpha_{\mathrm n}(G')$的图。在本文中，我们证明了邻域完美图的两类cograph超图——$P_4$-tidy图和树余图——的禁用导出子图刻画。我们还给出了在这些类上求解邻域完美图识别问题以及寻找最小邻域覆盖集和最大邻域独立集的线性时间算法。