图的邻域重构与消去

我们联系了图论中两个看似无关的问题。任意图 $G$ 都有一个关联的邻域多重集 $\mathscr{N}(G)= \{N(x) \mid x\in V(G)\}$，其元素恰好是 $G$ 的开顶点邻域。通常存在非同构的图 $G$ 和 $H$ 使得 $\mathscr{N}(G)=\mathscr{N}(H)$。邻域重构问题询问使得 $G$ 能由其邻域多重集唯一重构的条件，即使得 $\mathscr{N}(G)=\mathscr{N}(H)$ 蕴含 $G\cong H$ 的条件。这样的图被称为邻域可重构的。图直积的消去问题寻求使得 $G\times K\cong H\times K$ 蕴含 $G\cong H$ 的条件。Lovasz 证明了若 $K$ 不是二分图则确实如此。消去问题的第二个实例询问关于 $G$ 的条件，以保证对任意具有 $E(K)\neq \emptyset$ 的二分图 $K$ 有 $G\times K\cong H\times K$ 蕴含 $G\cong H$。满足此性质的图 $G$ 称为消去图。我们证明了邻域可重构图恰好就是消去图。我们还给出了关于消去图的一些新结果，这些结果对邻域重构具有相应的启示。