少数代理人的最优双重保证公平性

我们考虑在具有可加价值函数的代理人之间对不可分割物品进行公平分配的问题，旨在实现最优双重保证公平性（Best-of-Both-Worlds, BoBW）：即一种分配分布，它在行前是公平的，并且仅在确定性分配上受支持，这些分配在事后也是公平的。我们聚焦于少数代理人的 BoBW 问题，主要结果是设计了第一个实现三名代理人近似最优公平性的 BoBW 算法。对于三名代理人，我们证明了存在一种行前比例分配，其中的每个分配都是认识主义 EFX（EEFX），且保证每位代理人至少获得其 MMS 的 $\tfrac{9}{10}$。由于三名可加代理人不存在 MMS 分配，在每个分配中至少有一位代理人可能未获得其 MMS。为补偿这种代理人，我们还保证：如果某代理人未获得其 MMS，则她满足 EFX —— 这为她提供了可实现的最强 envy-based 保证。此外，利用近似 MMS 分区的 FPTAS，我们提出了一种 FPTAS 来计算保持所有 envy-based 保证以及保持所有价值-based 保证（误差为 $(1-\varepsilon)$）的 BoBW 分布。我们进一步展示，在放弃 EEFX 的情况下可以恢复精确的行前比例性。为此，我们首先为两名代理人及任意 $\varepsilon > 0$ 设计一种全多项式时间近似方案（FPTAS），其输出分布在行前是 envy-free（因此是比例的），且在事后是任意良好（EFX）范围内的 envy-free，同时保证每位代理人至少获得其 MMS 的 $(1-\varepsilon)$ 比例。我们随后将此两人 FPTAS 算法作为子程序，用于获得三名代理人的 FPTAS，以实现行前比例性。我们指出，针对两名代理人的本结果在多项式时间内实现的最强公平性和效率保证方面几乎匹配最佳结果，因此可能具有独立的兴趣。