关于少数类型代理的近似EFX

我们研究了将不可分割财物在n个拥有k种不同可加价值观的代理人之间进行公平分配的问题，目标是实现对任何财物（$\alpha-\mathrm{EFX}$）的近似无妒。已知在最多有三种不同价值观的情况下，由于HV等人，存在EFX分配。此外，Amanatidis等人表明，当代理人数量最多为七个时，保证存在$\frac{2}{3}-\mathrm{EFX}$分配。在本文中，我们证明当最多有四种不同价值观时，存在$\frac{2}{3}-\mathrm{EFX}$分配适用于任意数量的代理人。其次，我们考虑一种称为带慈善的EFX的放宽，即一些财物保持未分配状态，以至于没有代理人嫉妒这些未分配财物的集合。Akrami等人表明对于n个代理人和任意$\varepsilon \in \left(0, \frac{1}{2}\right]$，存在$(1-\varepsilon)-\mathrm{EFX}$分配，最多有$\tilde{\mathcal{O}}((n/\varepsilon)^{\frac{1}{2}})$个慈善财物。在本文中，我们证明当最多有k种不同价值观时，存在$(1-\varepsilon)-\mathrm{EFX}$分配，具有$\tilde{\mathcal{O}}(k/\varepsilon)^{\frac{1}{2}}$个慈善财物。