动态指数最后到达渗流中双无穷测地线的近存在性

人们相信，在非常一般的条件下，平面第一到达渗流和最后到达渗流（LPP）模型不存在双向无穷测地线（或双无穷测地线）。然而，如果赋予该模型一种自然动力学，从而逐渐扰动其几何性质，那么可能存在一个非平凡的特殊时刻集合 $\mathscr{T}$，在这些时刻存在这样的双无穷测地线。对于动态指数 LPP，我们证明 $\mathscr{T}$ “非常接近”于非平凡；即，我们得到了一个 $\Omega( 1/\log n)$ 的下界，用于估计存在一个随机时刻 $t\in [0,1]$ 使得一条长度为 $n$ 的非平凡测地线在其中点处穿过原点的概率；注意，如果上述概率为 $\Omega(1)$，则将意味着 $\mathscr{T}$ 的非平凡性。我们猜想，即使 $\mathscr{T}\neq \emptyset$，它也几乎必然具有恰好为零的 Hausdorff 维数。